CILINDRO


Cilindro
      Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:
      Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :
      Assim, temos:
      Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos  congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro
      Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
  • bases: os círculos de centro O e O'e raios r
  • altura: a distância h entre os planos 
  • geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r
    Classificação do Cilindro
          Um cilindro pode ser:
    • circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
    • circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
          Veja:
          O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:
          A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

    Secção
          Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
          Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

    Áreas
          Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
    a) área lateral (AL)
         Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
          Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

    b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
    c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases

     Volume
          Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.
           Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

             Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
             Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
    Vcilindro = ABh
              No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;
    portanto seu volume é:

    Cilindro eqüilátero
          Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamadocilindro eqüilátero.
    :
    Cone circular
          Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .
         
    Elementos do cone circular
          Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
    • altura: distância h do vértice V ao plano 
    • geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
    • raio da base: raio R do círculo
    • eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

    Cone reto
          Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominadocone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
          Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
    g2 = h2 + R2
    Secção meridiana
          A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
          Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
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