PARALELEPÍPEDO

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

      Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

      Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo

      Na base ABFE, temos:

         No triângulo AFD, temos:

Área lateral

      Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

A_L= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A_L = 2(ac + bc)

 
Área total

      Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

Volume

      Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

      Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

ESFERA

Volume

       Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera

   Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

Partes da esfera

Superfície esférica

   A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        A área da superfície esférica é dada por:

ona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

  

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples: